Diseño de un controlador difuso supervisor para la regulación de un convertidor conmutado elevador

DC-DC Supervisor Fuzzy Controller Design for a Boost Switching DC-DC Regulator

Spartacus Gomáriz
Doctor Ingeniero de Telecomunicación. Profesor titular. Departamento de Ingeniería Electrónica, Escola Politècnica Superior d'Enginyeria de Vilanova i la Geltrú, Universitat Politècnica de Catalunya. Vilanova i la Geltrú, España.
Spartacus.gomariz@upc.edu

Francesc Guinjoan
Doctor Ingeniero de Telecomunicación y profesor titular. Departamento de Ingeniería Electrónica, Escola Tècnica Superior d'Enginyeria de Telecomunicació de Barcelona, Universitat Politècnica de Catalunya. Barcelona, España.
guinjoan@eel.upc.edu

Recibido 27 de marzo de 2008, aprobado 13 de noviembre de 2008, modificado 18 de noviembre de 2008

PALABRAS CLAVES
Control difuso, conversión DC-DC, modulación de ancho de pulso, supervisión zonal.

RESUMEN
En este trabajo, se diseña un controlador difuso del tipo Takagi-Sugeno-Kang (TSK) para un regulador elevador conmutado DC-DC que opera a diferentes tensiones en estado estacionario. Este controlador realiza tareas de supervisión mediante su característica zonal. Por un lado, el controlador asigna diferentes leyes lineales de control acorde al valor de tensión de régimen estacionario y de los límites de aplicación a perturbación en pequeña señal. Por otra parte, el controlador asegura un arranque correcto para alcanzar el valor deseado de tensión de estado estacionario, por medio de una adecuada saturación del modulador de ancho de pulso (PWM) de acuerdo con los principios de control en modo deslizamiento. Como resultado, se logra un comportamiento ecualizado en pequeña señal y un arranque controlado para diferentes tensiones de estado estacionario; por tanto, se amplían las características del regulador. Se presentan resultados de simulación y experimentales realizados sobre un regulador elevador controlado por corriente, operando sobre dos valores de tensión diferentes de estado estacionario que validan el diseño.

KEY WORDS
DC-DC power conversion, fuzzy control, pulse width modulation, region supervision.

ABSTRACT
A complete design of a Takagi-Sugeno-Kang (TSK) fuzzy controller for a PWM boost DC-DC switching regulator operating at different steady-state voltages is presented. This controller performs a supervisory role through its region characteristic. On the one hand, the controller assigns different linear control laws according to the steady-state voltage value and limits their application to small-signal perturbations. On the other hand, the controller ensures a proper start-up to reach the desired steady-state voltage by means of properly saturating the PWM according to sliding-mode control principles. As a result, both an equalized small signal behavior and a controlled start-up are achieved for different steady-state voltages, thus extending the features of the regulator. Simulation and experimental results carried out on a current-controlled boost regulator operating at two different steady-state

INTRODUCCIÓN

La mayoría de reguladores conmutados incorporan lazos de realimentación lineales, cuyo diseño parte de modelos linealizados del convertidor; el modelo promediado temporal en el espacio de estado [1] es uno de los más populares por su fácil obtención. Estos modelos caracterizan analíticamente la dinámica linealizada del convertidor entorno a un régimen estacionario deseado mediante un conjunto de funciones de transferencia, a partir de las cuales se diseñan los lazos de realimentación con técnicas lineales convencionales bien conocidas por los diseñadores. Este procedimiento de diseño suele conducir a prestaciones del regulador satisfactorias en buena parte de las aplicaciones, de ahí su uso extendido. Sin embargo, los reguladores resultantes no responderán satisfactoriamente, en términos de parámetros de diseño de control lineal (ancho de banda, margen de fase, máximo sobreimpulso, etc.), si:

De las observaciones anteriores se deduce que:

Resultaría de interés, por tanto, disponer de un controlador que fuera capaz de:

Para ilustrar el planteamiento anterior, supóngase un convertidor con dos variables de estado (i,v) (siendo v la tensión de salida) que debiera operar con dos tensiones de referencia V_ref1 y V_ref2; para una perturbación de arranque, las acciones del controlador debieran ser capaces de conducir a un plano de estado como el de la Figura 1, en el que las zonas sombreadas corresponden a zonas de "pequeña señal", donde actúan las leyes de control lineal notadas como LCL₁ y LCL₂, mientras que fuera de ellas actúan otras leyes de control, notadas como LC₁ y LC₂, encaminadas a garantizar el arranque y el alcance de la zona de pequeña señal correspondiente.

Figura 1. Plano de estado del regulador en el transitorio de arranque. Asignación de leyes de control deseadas (LCL₁, LCL₂ LC₁, LC₂) en función de zonas de comportamiento de pequeña señal.

En definitiva, este planteamiento consiste en la aplicación de leyes de control analíticas dependiendo de la zona de operación del convertidor. Para implementar esta filosofía de control, se propone el empleo de un controlador difuso de Takagi-Sugeno-Kang (TSK) [2] [3] [4], dado que permite, a través de los consecuentes de las reglas, la asignación de leyes de control expresadas analíticamente, a zonas de operación que pueden fijarse a través de las funciones de pertenencia de los antecedentes.

Con base en la motivación anterior, el objetivo de este trabajo consiste en el diseño de un controlador difuso TSK de primer orden capaz de implementar las acciones de control reseñadas en la siguiente tabla:

Tabla 1. Acciones de control por realizar

La Tabla 1 se construye a partir de la interpretación de la Figura 1.

Este diseño se aplicara al caso de un regulador elevador ("boost") operando a frecuencia constante con una modulación PWM, dados su dinámica no lineal y sus problemas de arranque.

Como se deduce de la tabla anterior, un planteamiento de este tipo exige determinar:

- Se han escogido en este caso leyes de control de corriente [3], de forma que se ecualice la respuesta en pequeña señal para los dos puntos de operación (V_ref1 y V_ref2). Se pretende de esta forma conseguir dinámicas similares de pequeña señal entorno a cualquier tensión de referencia.

- Se han escogido en este caso leyes de control que permitan un cierto gobierno del sobreimpulso de arranque.

El artículo se organiza de la siguiente forma: En la sección II se diseñan sendos controles de corriente lineales para dos tensiones de referencia en vistas a ecualizar las dinámicas de pequeña señal del regulador. Tras poner de manifiesto la dependencia de estos diseños con el régimen estacionario del convertidor, se diseña en la sección III un controlador difuso TSK que asigne estas leyes en función de las tensiones de referencia, en el supuesto de que se permanezca en un régimen de operación de pequeña señal. En la sección IV se aborda la extensión del diseño del controlador difuso en el caso de transitorios de arranque, determinando las leyes que se van a aplicar. En la sección V se presentan los resultados de las simulaciones realizadas que validan el diseño de un controlador difuso TSK, que con 18 reglas controla el arranque y ecualiza las dinámicas para dos tensiones de referencia distintas. En la sección VI se muestran los resultados experimentales obtenidos mediante la realización del controlador a través de una DSP TMS320C6711. Finalmente, en la sección VII se presentan las conclusiones.

ECUALIZACIÓN DE DINÁMICAS EN PEQUEÑA SEÑAL DE UN REGULADOR ELEVADOR CONTROLADO EN MODO CORRIENTE

El diseño de controles lineales parte de un modelo linealizado del convertidor. La Figura 2 muestra la etapa de potencia y los dos lazos de control del regulador conmutado DC-DC elevador PWM con control de corriente, operando a frecuencia constante 1/TS y con limites de saturación con niveles alto y bajo definidos por V_M y V_m, respectivamente.

Figura 2. Etapa de potencia y subsistema de control de dos lazos de un regulador elevador.

En la aproximación lineal, el bloque de control G_control(s) se diseña a partir del modelo linealizado de la etapa elevadora mediante técnica de control en modo corriente; esta incluye un lazo de realimentación de la corriente interna del tipo proporcional y un lazo de realimentación la tensión externa del tipo proporcional integral [5]. En la Figura 3 se muestra el diagrama de bloques resultante del regulador controlado en corriente, donde el modelo lineal de la etapa elevadora se define mediante las funciones G_v(s) y G_i(s) que vienen dadas por [1]:

Considerando L, C, R y V_g parámetros fijos, la dependencia de las expresiones anteriores con el régimen estacionario se representa por la variable D', cuyo valor viene dado por D'=V_g/V_ref, siendo V_ref la tensión de referencia del regulador. Asimismo, puede apreciarse la presencia de un cero en el semi-plano derecho (z_v) en la función de transferencia G_vs), que resulta, por una parte, en un comportamiento de fase no mínima de la tensión de salida de este convertidor y, por otra, en un reducido margen de estabilidad relativa. Esta última característica es una de las razones por las cuales suele utilizarse el control en modo de corriente [5].

Figura 3. Diagrama de bloques del control en modo corriente.

De la Figura 3 se puede deducir el ciclo de trabajo entregado por el modulador dado por:

donde corresponden a las perturbaciones del error de tensión, de la corriente de inductor y la función de transferencia G(s) correspondiente a lo se denomina "sistema equivalente" dado por:

La ecualización de la respuesta en pequeña señal en lazo cerrado se puede alcanzar a través del diseño de tantos controles en modo corriente como tensiones de salida deseadas. En los trabajos previos [6] y [7], se han diseñado dos controles lineales de corriente para un regulador elevador con los siguientes parámetros característicos V_g =10V, L =200μH, R =10Ω, C =200μF y T =20μs, el cual opera en las tensiones de salida V_ref =20V y V_ref =50V con el mismo coeficiente de amortiguamiento fijado a ξd=√2/2 (i.e. ecualización del factor de amortiguamiento). Estos controles referenciados como PWM₂₀ (entrega el ciclo de trabajo d₂₀(t)) y PWM₅₀ (entrega el ciclo de trabajo d₅₀(t)) poseen los siguientes parámetros K_PI, z_PI y K_IP, mostrados en la Tabla 2.

Tabla 2. Valores de los parámetros de los controles de corriente

Los valores de K_PI, z_PI y K_IP se han diseñado para cumplir con las especificaciones expuestas anteriormente. Para ello, se han explicitado y se ha notado por p 1G y p 2G los polos de la función de transferencia del sistema equivalente dada en (7). Los criterios de diseño escogidos han sido:

se consigue así tanto una ganancia de lazo como la respuesta en lazo cerrado de segundo orden.

donde 1 ≤ α ≤ 3 garantiza que la parte real de los polos en lazo cerrado sea menor en modulo que el cero z_v.

De acuerdo con estos criterios de diseño se obtienen las siguientes expresiones para los parámetros K_PI, z_PI y K_IP:

En las figuras 4a y 4b se muestra, en cuanto a la tensión de salida del regulador, la respuesta en pequeña señal de los dos controles de corriente PWM₂₀ y PWM₅₀ alrededor de V_ref =20V y V_ref =50V, cuando se aplica una perturbación en pequeña señal a la tensión de referencia. Se puede observar que la ecualización del factor de amortiguamiento solo se puede alcanzar aplicando el controlador diseñado para la correspondiente tensión de régimen estacionario.

Figura 4. Tensión de salida para los controladores PWM₂₀ y PWM₅₀. (a) Entorno V_ref = 20V. (b) Entorno V_ref = 50V.

DISEÑO DE UN CONTROLADOR DIFUSO PARA LA ECUALIZACIÓN DE LA PEQUEÑA SEÑAL

Acorde con la sección anterior, si se desea ecualizar el factor de amortiguamiento, la estrategia de control es:

Estas acciones de control se pueden resumir en la Tabla 3.

Esta tarea se adapta a la arquitectura difusa TSK [2], que se describe bajo un conjunto de reglas de la forma:

donde x₁ …x_n son las entradas físicas del controlador difuso y los consecuentes de las reglas están definidos por valores singletons y depende de entradas lineales.

Tabla 3. Leyes de control para ecualizar el factor de amortiguamiento

Asumiendo inferencia de Mamdani, la salida del controlador difuso se da por:

Donde los antecedentes de las reglas y son variables descritas por medio de funciones de pertenencia.

Cabe señalar, que si u representa la variable de control, la ley de control lineal:

se asigna por medio de la regla i en una región del espacio (x₁,…x_n) de la variables de entrada si:

Esta propiedad se aplicara para conseguir la realización de la estrategia de control descrita en la Tabla 3. En este sentido, para llevar a cabo el diseño del controlador difuso TSK, se definen las funciones de pertenencia de los antecedentes, los consecuentes lineales y el conjunto de reglas de control de la siguiente manera:

VARIABLES DE ENTRADA

Por un lado, se escoge como variable de entrada la tensión de referencia V_ref con el objetivo de conocer la tensión deseada de estado estacionario. Por otro lado, se puede detectar el modo de operación en pequeña o gran señal mediante la normalización del error del vector de estado del convertidor , que se define:

Siendo necesario considerar tensión (v_c) y corriente (i_L) como variables de entrada para la determinación del modo de operación en pequeña señal.

CONSECUENTES DE LAS REGLAS:

De acuerdo con la sección II, los consecuentes vienen dados por:

los coeficientes de (19) se especifican en la Tabla 2. En consecuencia, la Figura 5 muestra el diagrama de bloques del controlador difuso para el regulador.

Figura 5. Diagrama de bloques del controlador difuso para el regulador elevador.

FUNCIONES DE PERTENENCIA DE LAS VARIABLES DE ENTRADA (ANTECEDENTES)

Por un lado, se diseñan dos funciones de pertenencia trapezoidales , mostradas en la Figura 6, de manera que sus máximos de credibilidad (valor de la función de pertenencia igual a 1) garanticen la tensión de salida deseada de estado estacionario de V_ref =20V y V_ref =50V. Se asegura así la condición necesaria para asignar las leyes de control de la Tabla 2, cuando estas tensiones de referencia son aplicadas.

Figura 6. Funciones de pertenencia para V_ref.

Por otro lado, se diseñan 3 funciones de pertenencia, denominadas para cada componente normalizado del vector de estado , tal como muestra la Figura 7.

Figura 7. Funciones de pertenencia para e_Ir e_Vr.

Estas funciones de pertenencia definen las siguientes regiones de máxima credibilidad, en donde una ley de control puede ser asignada:

L₁^- < e_Vr < L₁⁺ y M₁^- < e_Ir < M₁⁺: es la región de comportamiento en pequeña señal, en la que se aplican las leyes de control PWM₂₀ o PWM₅₀.

e_Vr > L₂⁺ o e_Vr < L₂^- o e_Ir > M₁⁺ o e_Ir < M₁^-: es la región correspondiente al comportamiento en gran señal.

El diseño de los limites L₁^-, L₁⁺, M₁^-, M₁⁺ se realiza por medio de simulación y se tiene en cuenta que las perturbaciones consideradas de pequeña señal no deben conducir el vector de error de estado normalizado (e_Vr, e_Ir) fuera de estos límites. Las Figuras 8a y 8b muestran las simulaciones de los transitorios de las Figura 4 en el plano de estado (e_Vr, e_Ir):

Fig. 8 Simulación de los transitorios en el plano de estado (e_Vr, e_Ir). (a) V_ref de16V a 20V. (b) V_ref de 45V a 50V.

De estas simulaciones, se seleccionan los siguientes limites para la región de pequeña señal:

Cabe reseñar, que estas simulaciones corresponden a variables instantáneas (no a valores medios) y, por tanto, aparece el correspondiente rizado de conmutación.

DISEÑO DEL CONTROL DE ARRANQUE

El control difuso presentado en el apartado anterior se aplica en el contexto de pequeña señal, por lo cual no garantiza una adecuada dinámica del regulador ante un comportamiento en gran señal, como puede ser un transitorio de arranque.

Así, el diseño del controlador dado en la Figura 1, exige asignar leyes de control en gran señal que garanticen el arranque y permitan alcanzar la zona de pequeña señal. Además, debe recordase que, al ser el controlador difuso de tipo TSK de primer orden, los consecuentes de las reglas solo pueden ser combinaciones lineales de las entradas.

El problema por resolver es que reglas de control se asignan en gran señal. Para ello existen diversas alternativas, a saber:

Una alternativa adicional que podría fácilmente implementarse con el controlador TSK de primer orden para dinámicas de gran señal es utilizar controles en modo de deslizamiento [10] [11] [12] que utilicen superficies de conmutación de primer orden, definidas como combinación lineal de variables de estado del convertidor, y que evidentemente garantizan el alcance de la tensión de referencia deseada.

Por lo tanto, se propone una estrategia de control basada en técnicas de control en modo deslizamiento [10] para asegurar un apropiado arranque desde las condiciones iníciales (i.e. (v_c, i_L = (0,0)) hacia el valor deseado de la tensión de salida en estado estacionario. Asumiendo que u representa la variable de control del convertidor elevador y que u(t) =1 o u(t) =0 corresponden con el estado del interruptor en T_ON o en T_OFF respectivamente (Figura 2), las siguientes leyes de control de conmutación

conducen al estado de equilibrio i_L = W cualesquiera que sean las condiciones iníciales [10]; lo que significa que cualquier superficie σ de corriente de inductor constante combinada con las acciones de conmutación previas es una superficie de deslizamiento, que llevara al deseado estado estacionario de corriente de inductor.

Esta ley de control puede ser aplicada en operaciones de arranque e introducida dentro del controlador difuso, por un lado, mediante la definición de la región "de arranque" como la región de gran señal de la Figura 7, en que las leyes anteriores se aplicaran desde las condiciones iníciales correspondientes al caso del arranque (v_c, i_L = (0,0)). Los valores correspondientes al vector de error normalizado son dados por:

Por tanto, los limites L₂^-, L₂⁺, M₂^-, M₂⁺ son fijados a ± 1. Por otro lado, la ley de control deslizante se realiza adecuada mente, mediante la saturación del modulador PWM a través de fijar la entrada u_CD, definida en la Figura 5, a V_M o V_m, acorde con el mapeado de la Figura 9.

Figura 9. Valores de la variable de control u_CD en el plano (e_Vr, e_Ir ).

Se debe señalar que las leyes de control de pequeña señal (PWM₂₀ o PWM₅₀) son asignadas solamente a las regiones de pequeña-señal, mientras que el control en modo deslizamiento prevalece sobre las demás regiones.

Las leyes de control en la zona rayada son el resultado de una interpolación lineal de las leyes de control asignadas a las regiones adyacentes.

Finalmente, el controlador difuso presenta el siguiente conjunto de reglas de control, mostrado en la Tabla 4:

Tabla 4. Reglas de control (valores de salida del controlador difuso)

Donde las funciones de pertenencia han sido diseñadas completamente mediante los parámetros L₁^-, L₁⁺, M₁^-, M₁⁺ y L₂^-, L₂⁺, M₂^-, M₂⁺

RESULTADOS DE LA SIMULACIÓN

Las Figuras 10a, 10b, 10c muestran la simulación de la tensión de salida del regulador con el controlador difuso TSK para un arranque y pequeñas perturbaciones en la tensión de referencia.

Las Figuras 10a y 10c corresponden al estado estacionario deseado de operación de V_ref =20V y V_ref =50V, donde se evidencia para ambos un arranque adecuado y una ecualización en pequeña señal.

Adicionalmente, la Figura 10b representa la respuesta para un valor de tensión de referencia intermedio de V_ref =25V, en la que se observa también un arranque adecuado y una respuesta en pequeña señal alrededor de ξ_d = √2/2, fruto de la propiedad de interpolación de los controladores difusos.

Figura 10. Tensión de salida del regulador frente a perturbaciones de la tensión de referencia. (a) Arranque a 16V y salto a 20V en t=0.008s. (b) Arranque a 25V y salto a 30V en t=0. (c) Arranque a 45V y salto a 50V en t=0.008s.

REALIZACIÓN DEL CONTROLADOR Y RESULTADOS EXPERIMENTALES

El controlador difuso TSK realiza múltiples operaciones y su aplicación al control de un convertidor elevador requiere un procesado rápido y preciso para garantizar un control ciclo a ciclo del convertidor. Dadas estas características, se ha optado en este trabajo por la utilización del procesador digital de señales (DSP) TMS320C6711 de Texas Instruments, de coma flotante y una velocidad del reloj de 150 MHz, que equivale según la estructura tipo harvard y procesado pipeline a realizar un procesado de 900 MFLOPS/ segundo.

Para realizar el enlace con las señales analógicas se ha utilizado la tarjeta multi-canal AED-103 de Signalware. La comunicación con la DSP se realiza mediante el control Enhanced Direct Memory Access (EDMA). Esta tarjeta dispone de dos canales de salida de 12 bits y de 16 canales de entrada de 10 bits cada uno, la velocidad de conversión de los 16 canales es de 1,25 MS/s, teniendo en cuenta la estructura de conversión, la frecuencia de muestreo equivalente de cada canal es 156,25 KHz con un retardo entre canales de 6,4 μs.

Tanto las entradas como las salidas de la tarjeta tienen un fondo de escala de 4,096 V, por tanto, la resolución de entrada y salida es 4 mV y 1 mV, respectivamente.

Se comprueba que la frecuencia de muestreo -temporalmente compuesta por: el tiempo de activación del DMA, el inicio de la FPGA, el tiempo de adquisición de datos, el tiempo del proceso del control y el tiempo de extracción de datos- es de 20 KHz. Esta frecuencia de muestreo determina que se establezca la frecuencia de conmutación del convertidor a 4 KHz.

Se diseñan dos controles discretos lineales de corriente para el regulador elevador con las siguientes características Vg=10V, L=1.68mH, R=55O, C=2670μF y T=250μs, que opera a los valores de tensión V_ref =22V y V_ref =32V, con el mismo factor de amortiguamiento fijado a ξ_d = √2/2. Estos controles, referenciados como PWM₂₂ (entrega el ciclo de trabajo d₂₂ (t)) y PWM₃₂ (entrega el ciclo de trabajo d₃₂ (t)), tienen los siguientes parámetros K_p, K_I y K_IP resumidos en la Tabla 5

Tabla 5. Valores de los parámetros del control discreto de corriente

Para comprobar la ecualización de la dinámica del convertidor se han realizado saltos en la tensión de pequeña señal, respecto a los puntos de trabajo de V_REF = 22V y V_REF = 32V. En la figura 11a y 11b se representan los comportamientos de la tensión y corriente del convertidor para los puntos de trabajo anteriores y se comprueba que el sobreimpulso es inferior a 4,3%.

Figura 11. Tensión y corriente del convertidor con control TSK. (a) Salto de 21.45V a 22V. (b) Salto de 31V a 32V.

Las figuras 12a y 12b muestran las dinámicas de arranque del sistema para los dos puntos de trabajo.

Figura 12. Tensión y corriente del convertidor con control TSK. (a) Salto de 21.45V a 22V con control PWM 32. (b) Salto de 31V a 32V con control PWM 22.

En estas graficas pueden observarse las transiciones de los diferentes controles, lo que induce a un futuro ajuste en el diseño con el objetivo de suavizarlas.

Finalmente, en la Figura 13 se muestra la evolución de las dinámicas anteriores en el plano de estado V_c/I_L. En ella se puede comprobar la asignación que realiza el control difuso TSK de las leyes de control deseada (LCL₁, LCL₂, LC₁, LC₂) en función de zonas de comportamiento de pequeña o gran señal.

CONCLUSIONES

Se ha presentado un diseño completo de un controlador difuso de Takagi-Sugeno-Kang (TSK) para un regulador conmutado elevador DC-DC para dos puntos de operación diferentes de la tensión en estado estacionario. El diseño del controlador difuso se ha realizado mediante la inclusión de dos conjuntos de reglas: uno para la ecualización en pequeña señal basado en técnicas de control lineales y otro para conseguir un apropiado comportamiento en arranque basado en el principio de control en modo deslizamiento. Se ha validado el diseño propuesto mediante resultados de simulación y resultados experimentales. En este trabajo se ha implementado mediante programación en C el control difuso propuesto con la plataforma digital DSP TMS320C6711 y, para ello, se han discretizado las leyes de control a partir de modelos analíticos lineales discretos del control en modo corriente. Dada la velocidad de procesado del control y para garantizar un control ciclo a ciclo del convertidor se ha impuesto una frecuencia de conmutación de 4 KHz. Respecto a líneas futuras es necesario aumentar la velocidad de conmutación del convertidor, para lo cual, se debe de disponer de una DSP con mayor velocidad de procesado y flexibilidad en la comunicación con los periféricos, así como una tarjeta de adquisición de mayor velocidad de muestreo y menor tiempo de latencia.

Figura 13. Plano de estado del regulador en el transitorio de arranque. Asignación de leyes.

*Este trabajo ha sido subvencionado parcialmente por el Ministerio de Ciencia y Tecnología, Spain, DPI2000-1509-C03-03

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